Черчение для школьников
Поиск по сайту:
Черчение: чертежи и эскизы

Параллельные и пересекающиеся плоскости

Из геометрии известно, что две плоскости могут быть параллельны друг другу или пересекаться одна с другой.

Рассмотрим первый случай. Пусть плоскости kXl и k'Xl' параллельны одна другой (рис. 117, а). В этом случае они пересекутся с третьей плоскостью П2 по прямым k и k', которые должны быть, как известно из геометрии, параллельны одна другой. На том же основании прямые l и l' также параллельны между собой. Но линии k и k' являются фронтальными следами заданных параллельных плоскостей, а линии l и l' — их горизонтальными следами. Следовательно, если плоскости параллельны в пространстве, то на комплексном чертеже параллельны между собой фронтальные проекции фронтальных следов и горизонтальные проекции горизонтальных следов (рис. 117, б). Остальные проекции следов совпадают с осью проекций х12.
n
n
TBegin-->Параллельные и  пересекающиеся плоскостиTEnd-->
n

n
Внимательно рассматривая последний чертеж, можно дать иное определение признака параллельности плоскостей. В самом деле, плоскости, заданные следами, можно рассматривать как плоскости, заданные двумя пересекающимися в точке F12 прямыми kхl (см. Две проекции точки). Следовательно, плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. Это положение, известное из геометрии, является более общим; оно применимо и к случаям, когда плоскости заданы не следами.
n
n
TBegin-->Параллельные и  пересекающиеся плоскостиTEnd-->
n

n
Пусть требуется (рис. 118) провести через точку А плоскость б (дельта), параллельную заданной плоскости у (гамма). Применяя последнее положение, через точку А проводим две пересекающиеся прямые аXb, параллельные соответственно двум пересекающимся прямым плоскости гамма (ВСXCD). Чтобы прямые были параллельны друг другу, на комплексном чертеже необходимо выдержать параллельность их одноименных проекций. В нашем примере а2||В2С2, b2||C2D2, а1||В1С1 и b1||C1D1 Проекции найденной плоскости б для наглядности заштрихованы. Можно было использовать для построения две другие прямые плоскости гамма, например ВС и BD, или провести в плоскости новые прямые, например горизонталь и фронталь hXf, и параллельно их проекциям провести проекции горизонтали и фронтали новой плоскости.
n
n
TBegin-->Параллельные и  пересекающиеся плоскостиTEnd-->
n

n
Второй случай взаимного положения плоскостей — их пересечение между собой. Эта задача решается легко, если одна из плоскостей — плоскость частного положения (рис. 119, а). На рисунке горизонтально-проецирующая плоскость а пересекает плоскость общего положениях по прямой MN. Горизонтальная проекция М1N1 этой прямой сливается с горизонтальной проекцией сигма1 плоскости сигма. Это является ключом к решению задачи. На комплексном чертеже (рис. 119, б) горизонтальную проекцию М1N1 линии пересечения- находим в пересечении проекций сторон треугольника а с горизонтальной проекцией сигма1 плоскости сигма. Пользуясь вертикальными линиями связи, находим точки М2 и N2 на фронтальных проекциях соответствующих сторон треугольника а2 и соединяем найденные точки. Передняя часть треугольника а будет видна нам при взгляде на фронтальную плоскость проекций, остальная часть плоскости а будет закрыта находящейся впереди плоскостью а. Невидимую часть плоскости изображаем штриховыми линиями.
n
n
TBegin-->Параллельные и  пересекающиеся плоскостиTEnd-->
n

n
Так же легко решается задача при наличии следов плоскостей (рис. 120, а). Фронтальные следы k и k', пересекаясь между собой, дают нам точку N, принадлежащую линии пересечения. Плоскость μ — горизонтальная, следовательно, линия пересечения плоскостей является горизонталью. Так как горизонталь принадлежит и плоскости kXl, то она должна быть параллельна горизонтальному следу l этой плоскости. Строим на комплексном чертеже (рис. 120, б) проекции N2 и N1 точки пересечения фронтальных следов плоскостей и проводим проекции горизонтали h при условии: h2||l2 и h1||l1. Точка N является фронтальным следом линии пересечения h.

Аналогично решается задача в том случае, когда обе плоскости являются плоскостями общего положения (рис. 121, а). Из рисунка видно, что точки М и N, принадлежащие линии пересечения и являющиеся следами этой линии, получаются в результате пересечения одноименных следов плоскостей. Это позволяет легко построить линию пересечения MN на комплексном чертеже (рис. 121, б). Точку N2 получаем в результате пересечения фронтальных проекций k2 и k1 фронтальных следов k и k'. Горизонтальную проекцию N1 этой точки находим на оси проекций х12. Точку М1 получаем в результате пересечения горизонтальных проекций l1 и l'1 горизонтальных следов и I'. Фронтальную проекцию М2 этой точки находим на оси проекций х12.

Одноименные проекции точек соединяем прямыми M2N2 и M1N1. Иногда учащиеся, по аналогии с рисунком, соединяют на комплексном чертеже точки N2 и M1, забывая, что на комплексном чертеже нет самой линии пересечения MN, а имеются две ее проекции M2N2 и M1N1.
n
n
TBegin-->Параллельные и  пересекающиеся плоскостиTEnd-->
n

n
В том случае, когда плоскости заданы плоскими фигурами, параллельными или пересекающимися прямыми, нецелесообразно строить их следы; лучше изменить методику решения задачи. Решение заключается в применении вспомогательных секущих плоскостей-посредников (рис. 122). Заданные плоскости а и b пересекаем горизонтальной плоскостью μ. Ее фронтальная проекция μ2 пересекает фронтальные проекции прямых, принадлежащих плоскостям, в точках А2, В2 и С2, D2. Проецируя эти точки на горизонтальные проекции a1 и b1 получаем горизонтальные проекции А1В1 и C1D1 линий пересечения АВ и CD. Точка их пересечения M1 является горизонтальной проекцией одной искомой точки; фронтальную проекцию М2 этой точки находим на сливающихся фронтальных проекциях A2В2 и C2D2 линий пересечения АВ и CD, принадлежащих плоскости. После этого проводим вторую горизонтальную плоскость μ'. Она пересекает плоскости а и b по двум прямым, параллельным прямым АВ и CD. Для построения их достаточно найти по одной точке для каждой прямой: Е для плоскости а и F для плоскости b. Пересечение прямых определяет вторую точку N, принадлежащую линии пересечения MN. Итак MN = аXb.


Gloss.su Последние новости: советы, игрушки, авто, дом и все, что в нем, арт-пространство, женское здоровье, стиль, кино.


2009-2016
Яндекс.Метрика