Черчение для школьников
Поиск по сайту:
Черчение: чертежи и эскизы

Прямые, параллельные и перпендикулярные плоскостям

Из геометрии известно, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, принадлежащей плоскости. Пусть требуется (рис. 126) через точку D провести прямую, параллельную плоскости треугольника ABC. В плоскости треугольника лежат все три его стороны. Линию DE проводим так, чтобы она оказалась параллельной одной из сторон треугольника, например стороне АВ. Для этого, как известно, необходимо, чтобы было выдержано следующее условие: D2Е2||А2В2 и D1E1||A1B1. Если требуется через точку D провести горизонталь, параллельную плоскости ABC, то предварительно в плоскости треугольника строят проекции горизонтали AF, а затем через точку проводят требуемую горизонталь DG||AF.

rn
rn

TBegin-->Прямые, параллельные и перпендикулярные плоскостямTEnd-->

rn

rn

Прежде чем рассматривать прямые, перпендикулярные плоскости, надо ознакомиться с проецированием прямого угла. Оказывается, что прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна данной плоскости, а другая не перпендикулярна ей (рис. 127, а). Докажем эту теорему; для этого изобразим прямой угол, составленный прямой а и горизонталью h, и его горизонтальную проекцию h1Хa1. Обратим внимание на плоскость а, она горизонтально-проецирующая, так как проходит через горизонтально-проецирующую прямую АА1. Сторона h угла по заданию параллельна плоскости П1 и перпендикулярна прямой а. Одновременно прямая h перпендикулярна линии АА1, также принадлежащей плоскости а; значит, она перпендикулярна и самой плоскости а. Горизонтальная проекция h1 параллельна горизонтали h, следовательно она тоже перпендикулярна плоскости а. Но тогда она перпендикулярна и прямой а1, принадлежащей этой плоскости. Итак, h1_|_a1, т. е. прямой угол спроецировался на плоскость без искажения, что и требовалось доказать.

На комплексном чертеже (рис. 127, б) горизонтальные проекции прямых составят прямой угол h1_|_ а1, фронтальные проекции h2 и а2 в данном случае образуют тупой угол. На фронтальную плоскость проекций П3 прямой угол спроецируется в виде прямого угла в том случае, когда одна из его сторон / будет являться фронталью.

rn
rn

TBegin-->Прямые, параллельные и перпендикулярные плоскостямTEnd-->

rn

rn

Из геометрии известно, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум прямым, принадлежащим этой плоскости. Такими прямыми могут быть выбраны горизонталь и фронталь плоскости. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали данной плоскости. Применим это положение для того, чтобы восставить перпендикуляр к плоскости треугольника ABC (рис. 128, а). Через точку А2A1 проведем горизонталь h2h1, через точку С2С1 проведем фронталь f1f2; эти прямые пересекутся между собой в точке N2N1. Проекции перпендикуляра MN должны пройти: M2N2 _|_ f2. M1N1 _|_ h1 Зная направление соответствующих проекций горизонтали и фронтали, можно провести проекции перпендикуляра из любой точки плоскости ABC. Решение упрощается, если плоскость задана следами kxl (рис. 128, б).

rn
rn

След k является нулевой фронталью, а след l — нулевой горизонталью. Ими можно воспользоваться для построения проекций перпендикуляра MN; фронтальная проекция M2N2 перпендикуляра должна быть перпендикулярна фронтальной проекции k2 фронтального следа плоскости k, горизонтальная проекция M1N1 перпендикуляра должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции l1 горизонтального следа l плоскости. Точка N выбрана нами на фронтальном следе k; ее можно было взять на горизонтальном следе l или в другом месте плоскости.

rn
Для примера решим две задачи.

rn

Задача 1. Определить проекции расстояния от точки А до плоскости треугольника BCD.

Как известно, расстояние от точки до плоскости измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость. Для того чтобы опустить перпендикуляр, надо провести горизонталь и фронталь плоскости (рис. 129). Горизонталью h плоскости в этом примере является сторона треугольника BD, так как фронтальная ее проекция горизонтальна (перпендикулярна линиям связи). Остается провести фронталь BE (f); ее горизонтальная проекция B1E1 должна быть параллельна воображаемой оси проекций х12; фронтальную проекцию строим с помощью точки Е. Из фронтальной проекции А3 точки А опускаем перпендикуляр на фронтальную проекцию В2Е2 фронтали BE, а из горизонтальной проекции А1 — на горизонтальную проекцию B1D1 горизонтали BD. Теперь надо найти основание перпендикуляра — точку О. Для этого проводим горизонтально-проецирующую плоскость сигма _|_ П1 находим линию пересечения MN, фронтальную проекцию O2 точки О, а по ней и горизонтальную проекцию О1.

Задача решена: A2O2 и А1O1 — проекции искомого расстояния. Отрезок АО видимый при проецировании на плоскости П2 и П1.

rn
rn

TBegin-->Прямые, параллельные и перпендикулярные плоскостямTEnd-->

rn

Задача 2. Через точку А провести плоскость р, перпендикулярную к плоскости a (BCD).

rn

Из геометрии известно, что если плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Воспользуемся предыдущим чертежом, на котором первая часть новой задачи решена — проведен перпендикуляр АО=а (рис. 130). Теперь достаточно провести через точку А любую прямую b. При этом образуется плоскость b_|_ а. Построенная плоскость для наглядности оттенена с помощью точек. Как видно, эта задача имеет множество решений.



2009-2016
Яндекс.Метрика